Math@Funny@Honey@Money

أسرة الموقع ترحب بك و نتمنى أن تكون بتمام الصحة و العافيه
Math@Funny@Honey@Money



    التباديل و التوافيق شرح مبسط

    شاطر

    teacher
    ناظر
    ناظر

    ذكر
    عدد الرسائل : 439
    العمر : 29
    Location : Egypt
    Job/hobbies : learner
    Skills/Courses : egypt
    Mood :
    الأوسمة :
    تاريخ التسجيل : 05/04/2008

    التباديل و التوافيق شرح مبسط

    مُساهمة من طرف teacher في الجمعة 13 فبراير 2009, 11:52 pm



    الدرس الاول ::
    مبدأ العد الاساسي ::

    العد من المهارات الاساسية في الرياضيات , فكثيراً ما تواجهنا مسائل يحتاج حلها الى اجراء عمليات عد بطرق مختلفة , و من ذلك مثلا معرفة عدد طرق ترتيب اربعة كتب مختلفة على رف , او معرفة عدد طرق اختيار فريق لكرة السلة مكون من خمسة لاعبين من بين اثنى عشر لاعباً , او معرفة عدد طرق اختيار عينة خماسية من مجتمع احصائى مكون من 200 شخص او .........الخ.

    للاجابة عن هذه المسائل و غيرها سنتعرف على استراتيجيات مختلفة للعد
    , وسنبدأ اولا بالتعرف على ما يسمى بمبدأ العد الاساسي .

    مثال(1) ::
    كم عددا مكونا من منزلتين يمكن تكوينه بحيث نختار رقم الاحاد من بين عناصر المجموعة (2 ,3, Cool ورقم العشرات من بين عناصر المجموعة (5 , 4 ) ؟

    الحل::
    يمكن استخدام الشجرة البيانية لاجراء احصاء فعلي لجميع الاعداد الممكنة هكذا::
    _2_45_4_5448
    ____58


    اذن عدد جميع الاعداد الناتجة = 6
    لاحظ ان هناك 3 طرق مختلفة لاختيار رقم الاحاد
    و ان هناك طريقتين مختلفتين لاختيار رقم العشرات مقابل كل طريقة من الطرق الثلاثة الاولى
    فيكون لدينا 3*2=6 طرق مختلفة لاختيار رقمي الاحاد و العشرات

    يوضح المثال السابق مبدا العد الاساسيو الذي يمكن صياغته على النحو التالي ::

    اذا امكن اجراء عملية مركبة على مرحلتين , وكان عدد طرق اجراء المرحلة الاولى هو ن 1 ,و كان عدد طرق اجراء المرحلة الثانية هو ن2 , فان عدد طرق اجراء العملية بالمرحلتين معا هو ن1*ن2

    و يمكن تعميم المبدأ لاكثر من مرحلتين كما في المثلة الاتية ::

    مثال(2) ::
    يقدم احد المطاعم 4 اصناف من اللحوم , و3 اصناف من السلطات , وصنفين من الحلوى كم عدد الاختيارات الممكنة لوجبة غذائية مكونة من صنف واحد من كل نوع ؟
    الحل ::
    اختيار صنف من اللحوم يمكن ان يتم بثلاثة مراحل ::
    اولا :: اختيار صنف من اللحوم و يتم باربع طرق
    ثانيا:: اختيار صنف من السلطات و يتم بثلاث طرق
    ثالثا:: اختيار صنف من الحلوى و يتم بطريقتين
    اذن عدد طرق اختيار الوجبة الغذائية = 4*3*2=24 طريقة


    مثال (3)::
    صندوق فيه 8 كرات مختلفة سحبت 3 كرات الواحدة تلو الاخرى . جد عدد طرق سحب الكرات الثلاث اذا كان السحب ::
    أ‌-دون ارجاع
    ب‌-مع ارجاع

    الحل ::
    أ‌-السحب دون ارجاع
    عدد طرق سحب الكرة الاولى =8
    عدد طرق سحب الكرة الثانية =7
    عدد طرق سحب الكرة الثالثة =6
    اذن عدد طرق سحب الكرات الثلاث =8*7*6=336 طريقة


    ب‌-السحب مع ارجاع
    عدد طرق سحب الكرة الاولى=8
    عدد طرق سحب الكرة الثانية =8
    عدد طرق سحب الكرة الثالثة =8
    اذن عدد طرق سحب الكرات الثلاث =8*8*8=512 طريقة


    تمارين ومسائل للذي او للتي تحب ان تجيب ::
    1- لحديقة 4 ابواب بكم طريقة تستطيع نادية الدخول للحديقة من احد الابواب و الخروج من الباب آخر؟

    2- يعمل في شركة 8 مهندسين , 3 فنيين , 24 عاملا . بكم طريقة يمكن تكوين فريق عمل مكون من مهندس و فني و عامل ؟

    3- اراد شخص السفر من نابلس الى بيت لحم , فاذا كان امامه 3 طرق مختلفة للسفر من نابلس الى رام الله , و طريقتان مختلفتان للسفر من رام الله الى بيت لحم , فبكم طريقة يمكنه السفر من نابلس الى بيت لحم مارا برام الله ؟


    _________________
    واخر دعوانا ان الحمد لله رب العالمين

    teacher
    ناظر
    ناظر

    ذكر
    عدد الرسائل : 439
    العمر : 29
    Location : Egypt
    Job/hobbies : learner
    Skills/Courses : egypt
    Mood :
    الأوسمة :
    تاريخ التسجيل : 05/04/2008

    رد: التباديل و التوافيق شرح مبسط

    مُساهمة من طرف teacher في الجمعة 13 فبراير 2009, 11:55 pm

    الدرس الثاني ::
    التباديل ::

    ان من اهم التطبيقات لمبدأ العد الاساسي استخدامه في معرفة عدد طرق التي يتم بها ترتيب عناصر مجموعة ما بكل الطرق الممكنة فمثلا اذا كان لدينا 3 كتب مختلفة هي :: رياضيات , فيزياء , احياء . واردنا ترتيبها متجاورة على رف بكل الطرق الممكنة فاننا نحصل على التراتيب التالية ::

    المكان الاول المكان الثاني المكان الثالث
    رياضيات فيزياء احياء
    رياضيات احياء فيزياء
    احياء رياضيات فيزياء
    احياء فيزياء رياضيات
    فيزياء رياضيات احياء
    فيزياء احياء رياضيات

    اذن عدد التراتيب =6
    نسمي كل تريتب تبديلاً

    بوجه عام ::
    تعريف ::
    التبديل لمجموعة مكونة من ن من العناصر هو اي ترتيب لعناصر هذه المجموعة يرمز لعدد جميع هذه التراتيب (التباديل) بالرمز ل(ن,ن).

    مثال(1)::
    اراد اربعة اشخاص اخذ صورة جماعية بوقوفهم معا في صف واحد بكم طريقة مختلفة يمكن ان يصطف هؤلاء الاشخاص ؟؟

    الحل::
    الطرق المختلفة لاصطفاف الاشخاص هي التباديل المختلفة لمجموعة مكونة من اربعه عناصر اي ل(4,4) ولايجاد ل(4,4) يمكننا تصور المواقع الاربعة التي يقف بها الاشخاص الاربعة هكذا ::
    يمكن اشغال الموقع الاول بِ4 طرق
    يمكن اشغال الموقع الثاني بِ3 طرق
    يمكن اشغال الموقع الثالث بِ2 طرق
    يمكن اشغال الموقع الرابع بِ1 طرق

    عدد جميع الطرق = 4*3*2*1=24 طريقة
    اي ان ل(4,4) = 4*3*2*1=24


    و بوجه عام ::
    اذا كانت س مجموعة عدد عناصرها ن , فان عدد تباديل (تراتيب) هذه العناصر يساوي ل(ن,ن) = ن(ن-1)(ن-2)* . . . *3*2*1
    و اختصارا في كتابة حاصل الضرب ن(ن-1)(ن-2)* . . . *3*2*1 فاننا نكتبه على صورة ن! وتقرأ مضروب ن ((n factorial

    تعريف ::
    اذا كان عددأ صحيحيا موجبا فان مضروب فان مضروب ن (ويرمز له بالرمز ن! ) يعرف هكذا::
    ن!= ن(ن-1)(ن-2)* . . . *3*2*1
    0! = 1
    اي ان مضروب ن يساوي حاصل ضرب ن من الاعداد الطبيعية المتتالية تبدأ بالعدد ن و تنتهي بالعدد 1


    مثال (2)::
    جد ناتج 5!
    الحل::
    5!=5*4*3*2*1=120

    مثال (3)::
    بين ان 8!=56*6!
    الحل::
    الطرف الايمن
    8!=8*7*6*5*4*3*2*1
    =8*7*(6*5*4*3*2*1)
    =8*7*6!
    =56*6!


    مثال (4)::
    اكتب كلا مما يلي باستخدام رمز المضروب
    أ- 5*4*6*3*1*2
    ب- 10*9*8
    ج- ن(ن^2-1)

    الحل::
    أ‌- 5*4*6*3*1*2 =6*5*4*3*2*1=6!
    ب‌- 10*9*8 = 10*9*8*7!\7! =10!\7!
    ج- ن(ن^2-1) = ن(ن-1)(ن+1)
    = (ن+1)*ن*(ن-1)
    =(ن+1)*ن*(ن-1)*(ن-2)!\(ن-2)!
    =(ن+1)!\(ن-2)!

    مثال (5)::
    اذا كان ن! = 720 فما قيمة ن ؟

    الحل::
    ن! = حاصل ضرب ن من الاعداد الطبيعية المتتالية اكبرها ن و اصغرها 1 لذا نكتب الطرف الايسر على صورة حاصل ضرب عوامل متتالية اصغرها 1 فيكون اكبرها ن .
    720 = 6*5*4*3*2*1 = 6!
    ن = 6

    ملاحظة ::
    تم اخراج العوامل عن طريق التحليل
    270/1=270
    270/2=360
    360/3=120
    120/4=30
    30/5=6
    6/6=1


    مثال (6)::
    اذا كان ن!\(ن-2)! = 20 فما قيمة ن ؟

    الحل::
    ن!\(ن-2)! =20
    ن(ن-1)(ن-2)!\ (ن-2)! =20
    ن(ن-1) = 20
    ن^2-ن-20 = 0
    (ن-5)(ن+4)=0
    ن = 5 , -4 و يرفض الجواب السالب
    اذن ن = 5


    تباديل ن من العناصر المختلفة مأخوذة راءً راءً ::
    في كثير من الاحيان نهتم بترتيب بعض عناصر مجموعة من الاشياء المختلفة و ليس جميعها فاذا كان لدينا 4 كتب هي :: علوم , رياضيات , جغرافيا , اقتصاد و اردنا ترتيبها اثنين اثنين في كل مرة فان التراتيب الممكنة هي ::

    علوم , رياضيات
    علوم , جغرافيا
    علوم , اقتصاد

    رياضيات , علوم
    رياضيات , جغرافيا
    رياضيات , اقتصاد


    جغرافيا , علوم
    جغرافيا , رياضيات
    جغرافيا , اقتصاد

    اقتصاد , علوم
    اقتصاد , رياضيات
    اقتصاد , جغرافيا

    اي ان عدد تباديل اربعة اشياء مأخوذة اثنين اثنين في كل مرة يساوي 12 و بالرموز ل(4,2)

    وبوجه عام ::
    يستخدم الرمز ل(ن,ر) للدلالة على تباديل ن من الاشياء المختلفة مأخوذة راءً راءً في كل مرة

    مثال (7)::
    اشترك 6 متسابقين في المونديال الاول للرياضيات . بكم طريقة يمكن ان تظهر فية نتيجة السباق للمراكز الثلاثة الاولى علما بأنه لم يحل اثنان في المركز نفسه ؟

    الحل::
    يمكن ملء المركز الاول بِ 6 طرق
    يمكن ملء المركز الثاني بِ 5 طرق
    يمكن ملء المركز الثالث بِ 4 طرق
    اي يمكن ملء المراكز الثلاثة الاولى بطرق عددها 6*5*4=120 طريقة

    لاحظ ان كل طريقة من هذة الطرق هي ترتيب لثلاثة متسابقين من بين المتسابقين الستة و بالرموز ::
    ل(6 , 3)= 6*5*4=120
    لاحظ ايضا ان ل(6 , 3) يساوي حاصل ضرب ثلاثة اعداد طبيعية تبدأ بالعدد 6



    بوجه عام ::
    نظرية ::
    ل(ن,ر) = ن(ن-1)(ن-2)* . . . *(ن- ر+1) حيث ر,ن عددان طبيعيان
    ر اكبر او تساوي ن

    اي ان ل(ن,ر) يساوي حاصل ضرب من الاعداد الطبيعية المتتالية اولها ن و آخرها (ن- ر+1)

    البرهان ::
    ل(ن,ر) تعني عدد تباديل ن من الاشياء مأخوذة راءً راء ً في كل مرة
    فاذا تصورنا راءً من الاماكن الخالية فانة يمكن ملء المكان الاول بطرق عددها ن ويمكن ملء المكان الثاني بطرق عددها ن-1 = ن-(2-1)
    ويمكن ملء المكان الثالث ن-2 = ن – (3-1)
    وهكذا . . .
    و يمكن ملء المكان الاخير ( الرائي ) بطرق عددها ن- (ر-1)=ن- ر+1
    اذن يمكن ملء جميع الاماكن بطرق عددها ن(ن-1)(ن-2)* . . . *(ن- ر+1)
    اي ان ل(ن,ر) = ن(ن-1)(ن-2)* . . . *(ن- ر+1)
    مثال (Cool::
    جد قيمة كل من : ل(10 ,3) , ل(5 ,4)

    الحل ::
    ل(10 ,3) = 10*9*8 = 720
    ل(5 ,4) = 5*4*3*2 = 120



    نتيجة (1)::
    ل(ن,ر) =ن! \ (ن- ر)!

    البرهان ::
    ل(ن,ر) = ن(ن-1)(ن-2)* . . . *(ن- ر+1)
    و بضرب المقدار (ن-ر)! وبالقسمة علية يكون ::
    ل(ن,ر) = ن(ن-1)(ن-2)* . . . *(ن- ر+1) *(ن-ر)!\ (ن-ر)!

    = ن! \ (ن- ر)!

    نتيجة (2)::
    ل(ن , 0 ) = 1


    لان :: ل(ن , 0 ) = ن! \ (ن- 0)! (من نتيجة (1) )
    = ن!\ن! = 1


    مثال(9)::
    اذا كان ل(ن,2)=90 فما قيمة ن ؟؟

    الحل::
    هناك طريقتان لحل هذا المثال ::
    الطريقة الاولى ::
    الطرف الايمن ل(ن,2) يساوي حاصل ضرب عددين طبيعيين متتاليين اكبرهما ن لذا نكتب الطرف الايسر على صورة حاصل ضرب عاملين متتاليين فيكون اكبرهما = ن
    90 = 10*9
    ن = 10

    الطريقة الثانية ::
    ل(ن,2) = ن(ن-1) =90
    ن^2- ن = 90
    ن^2- ن - 90 = 0
    (ن-10)(ن+9) = 0
    اما ن = 10 او ن = -9 (ترفض)
    اذن ن = 10


    مثال(10)::
    اذا كان ل(7 , ر) = 840 فما قيمة ر؟؟

    الحل ::
    الطرف الايمن ل( 7 , ر) = حاصل ضرب ر من الاعداد الطبيعية المتتالية اكبرها 7 , لذا نكتب العدد 840 على صورة حاصل ضرب عوامل متتالية اكبرها 7
    فيكون 840 = 7*6*5*4
    اي ان ل( 7 , ر) = 7*6*5*4
    ر = 4

    840\7=120
    120\6=20
    20\5=4
    4\4=1





    تمارين ومسائل للذي او للتي تحب ان تجيب ::
    1- حل/ي المعادلة ::
    ل(ن^2+1 , 3) = 10ن*ل(ن+1, 3)

    2- اثبت/ي ان ::
    (2ن)!\ن! = 2^ن(1*3*5* . . . *(2ن- 1)



    انتهى الدرس الثاني



    _________________
    واخر دعوانا ان الحمد لله رب العالمين

    teacher
    ناظر
    ناظر

    ذكر
    عدد الرسائل : 439
    العمر : 29
    Location : Egypt
    Job/hobbies : learner
    Skills/Courses : egypt
    Mood :
    الأوسمة :
    تاريخ التسجيل : 05/04/2008

    رد: التباديل و التوافيق شرح مبسط

    مُساهمة من طرف teacher في الجمعة 13 فبراير 2009, 11:59 pm

    الدرس الثالث ::

    التوافيق ::
    الجزء الاول ::

    عرفنا ان التباديل هي اختيارات مرتبة يمكن تكوينها من مجموعة من الاشياء مأخزذة كلها او بعضها في كل مرة , وفي بعض الاحيان نحتاج الى اجراء اختيار دون ترتيب كمكا يحصل مثلا عند تشكيل لجنة خماسية من الاعضاء يتم اختيارهم من بين 30 عضو او تكوين مجموعة من 3 عناصر مأخوذة من مجموعة عدد عناصرها 5 عناصر او . . . الخ فهذه الحالات لا يكون الترتيب فيها ذا اهمية


    مثال(1)::
    بكم طريقة يمكن اختيار 3 كتب من بين خمسة كتب هي :: علوم , رياضيات تكنولوجيا , ادارة ,تاريخ ؟

    الحل::
    جميع الاختيارات الممكنة هي ::
    (علوم , رياضيات , تكنولوجيا ) , (علوم , ادارة ,تاريخ )
    (علوم , رياضيات , ادارة ) , (رياضيات , تكنولوجيا , ادارة )
    (علوم , رياضيات , تاريخ ) , (رياضيات , ادارة , تاريخ )
    (علوم , تكنولوجيا , ادارة ) , ( رياضيات , تكنولوجيا , تاريخ )
    (علوم , تكنولوجيا , تاريخ ) , (تكنولوجيا , ادارة , تاريخ )

    عدد الاختيارات يساوي 10 , يسمى كل اختيار من هذه الاختيارات توفيقا .
    لاحظ ان الترتيب في كل اختيار غير مهم فالاختيار (علوم , رياضيات , تكنولوجيا ) هو نفسة ( رياضيات , علوم , تكنولوجيا) وهو نفسه (تكنولوجيا , رياضيات , علوم ) , . . .

    بوجه عام ::
    تعريف ::
    التوافيق :: هي اختيارات غير مرتبة ( مجموعة جزئية لها عدد العناصر نفسه ) يمكن تكوينها من مجموعة من الاشياء مأخوذة راءً راءً في كل مرة بالرمز
    و تقرأ : n فوق r , حيث n , r عددان طبيعيان , r اكبر او تساوي من n

    نظرية ::
    =
    L(n , r ) \ r!


    برهان ::
    التوافيق هي اختيارات غير مرتبة فاذا ما رتبنا عناصر كل توفيق التى عددها

    فانه ينتج لدينا
    *r!
    من التباديل
    اي ان L(n , r ) =
    *r!

    اذن =
    L(n , r ) \ r!

    وهو المطلوب


    نتيجة (1)::
    =
    n!\r!*(n-r)!


    مثال(1)::
    جد قيمة

    الحل::
    =
    ل(7 , 3 ) \3!
    7*6*5\3*2*1=35

    مثال(2)::
    مدرسة فيها 15 معلما , يراد تشكيل لجنة مكونة من 4 معلمين بكم طريقة يتم ذلك ؟

    الحل::
    عدد طرق تشكيل اللجنة =
    =
    ل(15 , 4 )\4!=
    15*14*13*12\4*3*2*1=1365 طريقة



    مثال(3)::
    التقى 4 اصدقاء فصافح كل منهم الاخر , كم مصافحة تمت بين الاصدقاء ؟؟

    الحل::
    عدد المصافحات =
    =
    ل(4,2)\2! =
    4*3\2*1 = 6 مصافحات

    اذا رمزنا للاصدقاء الاربعة بالرموز أ , ب , ج , د فان المصافحات بين كل اثنين تمثلها المجموعة الجزئية التالية ::
    (أ , ب ) , ( أ , ج ) , ( أ , د) , ( ب , ج ) , ( ب ,د ) , ( ج , د) وهذه 6مجموعات

    نتيجة(2)::
    =


    البرهان ::
    الطرف الايمن =
    =
    ن!\ ر!*(ن- ر)!

    الطرف الايسر =

    ن!\(ن- ر)!*(ن- (ن – ر )! =
    ن!\(ن- ر)!*(ن- ن + ر )! =
    ن!\(ن- ر)!* ر!
    الطرفان متساويان
    وهذه النتيجة تقول ان عدد توافيق ن من العناصر مأخوذة راءً راءً في كل مرة يساوي عدد توافيق ن من العناصر مأخوذة (ن- ر) في كل مرة و هذا واصح لان تكوين مجموعة جزئية من 3 عناصر من بين 10 عناصر مثلا يقابله مباشرة تكوين مجموعة جزئية من 7 عناصر من نفس المجموعة اي ان عدد المجموعات الجزئية الثلاثية لمجموعة مكونة من 10 عناصر مختلفة يساوي عدد المجموعات الجزئية السباعية للمجموعة اي ان ::
    =




    نتيجة(3)::
    اذا كان
    =

    فان ::
    x = y او x + y =
    n


    _________________
    واخر دعوانا ان الحمد لله رب العالمين

    teacher
    ناظر
    ناظر

    ذكر
    عدد الرسائل : 439
    العمر : 29
    Location : Egypt
    Job/hobbies : learner
    Skills/Courses : egypt
    Mood :
    الأوسمة :
    تاريخ التسجيل : 05/04/2008

    رد: التباديل و التوافيق شرح مبسط

    مُساهمة من طرف teacher في السبت 14 فبراير 2009, 12:02 am

    [size=18]
    التوافيق ::
    الجزء الثاني ::

    مثال(5)::
    صف مخطلط فيه 10 طالبات , 7 طلاب يراد اختيار لجنة مكونة من 3 طالبات و طالبين . بكم طريقة يتم ذلك ؟

    الحل ::
    عدد طرق اختيار الطالبات =
    =
    10!\3!*7! = 10*9*8*7!\3*2*1*7! =
    = 120 طريقة

    عدد طرق اختيار الطلاب =
    =
    7!\2!*5! = 7*6*5!\2*5! =
    = 21 طريقة

    اذن عدد طرق اختيار اللجنة كاملة =


    _________________
    واخر دعوانا ان الحمد لله رب العالمين

    teacher
    ناظر
    ناظر

    ذكر
    عدد الرسائل : 439
    العمر : 29
    Location : Egypt
    Job/hobbies : learner
    Skills/Courses : egypt
    Mood :
    الأوسمة :
    تاريخ التسجيل : 05/04/2008

    رد: التباديل و التوافيق شرح مبسط

    مُساهمة من طرف teacher في السبت 14 فبراير 2009, 12:10 am

    كانت هذه الدروس من منتدى العلوم العربية
    أرجو من المديرين معالجة مشكلة الرموز و الاكواد
    التى تضح فى اخر الموضوع

    للدقة التوضيحية ليس اكثر

    و ارجو اتمام عملية تعريف الاكواد الرياضيه على الموقع
    لعدم حدوث مثل هذه المشاكل مجددا


    شكرا


    _________________
    واخر دعوانا ان الحمد لله رب العالمين

    student
    زائر

    كيف ؟

    مُساهمة من طرف student في الخميس 29 أبريل 2010, 9:27 pm

    الاخ الاستاذ :السلام عليكم

    شكرأ" جزيلا عل الجهد والمشاركه الفعاله
    الملاحظات كانت فعلا قيمه
    لدي سؤال واحد
    ممكن تبين او توضح كيف تم حل السؤال الاخير ؟
    وجزاك الله كل الخير

    مع خالص الشكر والتحيه

    لولي =)
    زائر

    توضيح حل السؤال السابق

    مُساهمة من طرف لولي =) في الأحد 23 مايو 2010, 7:05 pm

    صف مخطلط فيه 10 طالبات , 7 طلاب يراد اختيار لجنة مكونة من 3 طالبات و طالبين . بكم طريقة يتم ذلك ؟


    المطلوب : هو تكوين أو اختيار لجنة مكونة من 3 طالبات من أصل 10 طالبات ، وطالبين من أصل 7 طلاب

    أياً كانت هذه الـ 3 طالبات أو الـ 7 طلاب

    إذن التراتيب غير مهمه ؛ لذلك نستخدم التوافيق في حل المسألة وليس التباديل

    فإن الإجراء الأول لإختيار الطالبات هو : 10 فوق 3

    والإجراء الثاني لإختيار الطلاب هو : 7 فوق 2

    وبحسب مبدأ العد : فإننا نقوم بضرب طرق الإجراءات مع بعضها البعض

    أي أن : 10 فوق 3 × 7 فوق 2

    وبس

    أتمنى تكون وصلت الفكره ^^

    دعواتكم =)

      الوقت/التاريخ الآن هو الجمعة 09 ديسمبر 2016, 11:09 pm